Sebaran Binomial

Dalam statistik, kita seringkali menemukan data deret hitung (count) yang berbentuk acak diskret, misalnya pada kasus pelemparan koin yang dilakukan sebanyak 6 kali, kita mungkin mendapatkan 3 gambar ataupun 3 angka yang keluar, dengan demikian peluangnya adalah 0,5 untuk gambar dan 0,5 untuk angka.

Atau kita pernah menjalani ujian dengan tipe pilihan ganda, tentunya peluang kita untuk memilih jawaban A, B, C dan D adalah sama untuk yang hanya menebak-nebak, yaitu 0,25 untuk jawaban benar dan 0,75 untuk jawaban salah. Terakhir adalah jika kita melihat data operasi transplan jantung di sebuah rumah sakit, maka kita akan temukan dari 20 kali operasi, berapa pasien yang dapat bertahan, tentunya peluangnya adalah 0,5 untuk berhasil dan 0,5 untuk gagal.

Beberapa ilustrasi di atas merupakan contoh kasus percobaan yang berjumlah n yang akan memberikan hasil antara sukses atau gagal, satu dari dua pilihan, atau katakanlah bersifat dikotomi. Percobaan ini seringkali disebut sebagai percobaan binom atau yang kita kenal dengan bernoulli trial dengan karakteristik yang berbeda dengan percobaan poisson yang telah kita bahas. Percobaan binom memiliki karakteristik antara lain:

• Terdiri atas sejumlah n percobaan berjumlah tetap,
• Hasil yang didapat hanya dua kemungkinan yaitu sukses atau gagal, atau sisi gambar atau sisi angka seperti pada

kasus pelemparan koin tadi,

• Peluang sukses yang dinotasikan dengan p, adalah sama pada setiap percobaan,
• Setiap percobaan adalah independen, artinya hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain.

Hasil dari percobaan binom adalah jumlah keberhasilan, variabel diskret X yang menunjukkan jumlah keberhasilan disebut variabel acak binom. Nilai yang mungkin untuk percobaan binom adalah X=0,1,2, ...,n dan peluang-peluang yang dihasilkannya akan menunjukkan sebaran binom yang dinotasikan dengan B(n,p).

Formula yang digunakan pada percobaan binom untuk mendapatkan sejumlah k keberhasilan pada n percobaan adalah seperti berikut:

Dimana:

n          = jumlah percobaan

k          = jumlah keberhasilan

n-k       = jumlah kegagalan

p          = kemungkinan keberhasilan pada satu kali percobaan

1-p       = kemungkinan kegagalan pada satu kali percobaan

Ilustrasi singkat:

Jika naomi menebak dari 10 pertanyaan pilihan ganda yang diberikan dalam ujian statistik, berapakah kemungkinan naomi menjawab 5 pertanyaan dengan benar jika pilihan jawaban yang diberikan adalah 5?

Untuk permasalahan Naomi kita memiliki n = 10, k = 5, dengan demikian peluang naomi menjawab benar p = 0,2, dan kemungkinan naomi menjawab salah adalah 0,8.

Maka P(5 jawaban benar dari 10 pertanyaan) ≈ 0,026

Probabilitas Binom Kumulatif

Ilustrasi di atas menerangkan peluang Naomi menjawab 5 jawaban dengan benar, bagaimana jika dikatakan paling banyak 5 jawaban benar?pertanyaan tersebut akan mengarah kepada peluang binom kumulatif dimana variabel acak binom akan jatuh pada rentang tertentu baik itu lebih besar dari atau sama dengan (>), kurang dari atau sama dengan (<).

Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menghitung P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), yang kemudian dapat kita singkat dengan:

Dimana kita akan menghitung nilai-nilainya sebagai berikut:

P(k > 5, 10) = P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)

Menghitung Sebaran Binom dengan Excell

Jika kita menghitung nilai Probabilitas dengan excell berdasarkan data ujian Naomi di atas, adalah seperti berikut ini:

Kemudian pada nilai probabilitas kita tinggal mengetikkan BINOMDIST(nomor cell, FALSE), seperti berikut:

Kita lihat pada gambar urutan dari formula BINOMDIST yaitu NUMBER (jumlah keberhasilan), TRIAL (jumlah percobaan), PROBABILITY (probabilitas keberhasilan), dan CUMULATIVE yang dinyatakan dengan FALSE yang menunjukkan 1-p (1-0,2).

Kemudian klik enter dan akan menunjukkan hasil 0,0264:

Kemudian kita akan mencari probabilitas kumulatifnya jika pertanyaan mengarah kepada rentang tertentu, dalam kasus ini peluang Naomi dapat menjawab paling banyak 5 jawaban benar ( < 5 ).

Untuk menjawab pertanyaan ini kita hanya mengganti fungsi kumulatif FALSE dengan TRUE seperti berikut ini:

Setelah kita enter hasilnya akan tampak seperti berikut:

Kita juga akan menghitung probabilitas naomi menjawab paling sedikit 5 jawaban benar ( > 5 ), dengan demikian kita akan menghitung P(6), P(7), P(8), P(9), dan P(10), sebagai berikut:

Kemudian kita lakukan proses yang sama pada P(7) dan seterusnya sehingga didapatkan hasil berikut:

Setelah didapatkan hasil masing-masing probabilitasnya, kita tinggal menggunakan fungsi SUM untuk mengetahui probabilitas kumulatif seperti di bawah ini:

Maka hasilnya akan ditampilkan sebagai berikut:

download versi pdf di bawah ini >>>