Sebaran Poisson

download bahasan ini dalam bentuk pdf disini>>>

Kita mungkin menjalankan analisis regresi dengan memperhatikan asumsi data yang menyebar normal, tapi pada beberapa kasus kita mungkin menemukan data yang tidak menyebar normal. Hal ini tentunya dapat kita atasi dengan transformasi data. Tapi adakalanya transformasi data yang kita lakukan tetap saja menghasilkan data yang tidak menyebar normal, hal ini dapat menyebabkan prinsip kenormalan dilanggar. Kita mengenal beberapa tipe data seperti nominal, ordinal, interval, dan mungkin data deret hitung (count). Untuk data deret hitung biasanya kita temukan pada suatu kasus atau pada sampel percobaan. Data jenis ini paling sering menyebabkan data tidak menyebar normal. Pendekatan yang sering digunakan adalah dengan regresi logistik, dengan menyusun kategori variabel misalnya 1=terpilih, 2=tidak terpilih, hal ini bisa dilakukan tetapi kita akan kehilangan informasi riil yang mendekati kenyataan, hasilnya menjadi bias, atau bahkan kekurangan power dalam pengujian. Contoh data deret hitung (count) yang sering kita temui antara lain:

• Jumlah kecelakaan di jalan raya yang terjadi dalam sebulan
• Jumlah anak ikan yang menetas pada perlakuan khusus di laboratorium
• Jumlah serangan tikus pada 1 hektar sawah
• Jumlah serangan penyakit pada tanaman dalam satu m²
• Jumlah pertandingan sepakbola yang tertunda karena hujan pada satu musim liga, dan lain-lain.

Karakteristik Data Deret Hitung (Count) antara lain:

• Tidak bernilai < 0
• Keragamannya tidak konstan, selalu berubah, biasanya bias sangat tinggi,
• Data deret hitung (count) biasanya mengikuti distribusi poisson

Ketika variabel respon (bebas) berada dalam bentuk deret hitung (count), kita dapat menggunakan regresi poisson dimana datanya bernilai > 0 dan bernilai absolute (positif). Regresi poisson mengikuti bentuk data logaritma natural dimana:

log_e(Y) = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂….

maka dapat kita tulis dalam bentuk lain

Y = (e^β0) (e^β1X1) (e^β2X2)…

Dengan demikian regresi poisson menyatakan hasil dalam bentuk logaritma sebagai fungsi linier variabel prediktor.

Karakteristik Sebaran Poisson

• Jumlah hasil percobaan (μ) pada suatu daerah diketahui (disini daerah dapat berupa panjang, area, volume atau periode waktu, dan lain-lain)
• Probabilitas/peluang hasil percobaan selama selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil proporsional terhadap besar-kecilnya daerah, bukan pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.
• Poisson memiliki nilai konstanta (e) sebesar 2,71828.
• Rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu tertentu dinotasikan dengan μ.
• Banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson dinotasikan dengan x dan biasa disebut sebagai peubah acak X.
• P(x; μ): dapat dijelaskan sebagai x hasil yang muncul pada percobaan poisson, dimana jumlah rataan banyaknya hasil adalah sebesar μ.

Jika diketahui rataan jumlah hasil (μ) yang terjadi pada suatu daerah, kita dapat menghitung peluang poisson berdasarkan rumus berikut,

P(x; μ) = (e^-μ) (μ^x) / x!

Dimana x adalah jumlah hasil aktual yang dihasilkan dari percobaan, sedangkan e merupakan konstanta = 2.71828.

Percobaan Poisson dapat saja digunakan untuk menentukan hasil pengamatan-pengamatan mengenai dering telepon per jam, jumlah tikus di sawah per hektar, jumlah kelahiran Caesar di rumah sakit, kejadian kematian akibat kangker, dan banyaknya pembelian suatu merk kosmetik tertentu di sebuah pusat perbelanjaan.

Ilustrasi

Seorang salesman yang bernama mamat yang menjual panci dalam satu bulan dapat menjual rata-rata 2 unit panci per hari (jyaaahhh,,panci pake unit). Berapa kemungkinan panci akan terjual 3 unit esok harinya?

Dengan Notasi sebaran poisson dapat kita tulis sebagai berikut:

• μ = 2; karena rata-rata 2 panci yang terjual per hari.
• x = 3; karena kita akan melihat kecenderungan salesman mamat akan menjual 3 panci esok harinya.
• e = 2.71828; konstanta sebaran poisson.

Kemudian kita akan memasukkan penjualan mamat ke dalam rumus sebagai berikut:

P(x; μ) = (e^-μ) (μ^x) / x!

P(3; 2) = (2.71828^-2) (2³) / 3!

P(3; 2) = (0,1353) (8) / 6

P(3; 2) = 0.180

Jadi peluang salesman mamat menjual 3 unit panci esok harinya adalah 0,180.

Atau dalam bentuk lain dengan menggunakan tabel sebaran poisson yang biasanya terdapat dalam buku wajib para statistikawan Pengantar Statistika Edisi ke-3 karangan Ronald E.Walpole, maka rumus peluang mamat menjual 3 unit panci esok harinya adalah:

P(3; 2) = (e^-2) (2³) / 3!

maka:

P(3; 2) = 0,8571 – 0,6767

P(3; 2) = 0,180

Dari tabel sebaran poisson, dapat kita lihat bahwa nilai  adalah 0,8571

Sedangkan nilai  adalah 0,6767

Ilustrasi II

Rata-rata pembelian produk lipstik “cantik berseri” di suatu department store pada hari minggu adalah 5 per hari, berapa probabilitas department store tersebut akan menjual kosmetik kurang dari 4 pada hari minggu berikutnya?

• μ = 5; karena rata-rata lipstik yang terjual pada hari minggu adalah 5.
• x = 0, 1, 2, atau 3; kemungkinan terjual kurang dari 4, maka kemungkunan mereka membeli 0, 1, 2, atau 3 lipstik.
• e = 2.71828; nilai konstanta.

Kita akan menghitung agregat dari peluang-peluang yang terjadi antara lain: P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5) + 

P(3; 5).

P(x < 3, 5)       = P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5) + P(3; 5)

P(x < 3, 5)       = [ (e^-5)(5⁰) / 0! ] + [ (e^-5)(5¹) / 1! ] + [ (e^-5)(5²) / 2! ] + [ (e^-5)(5³) / 3! ]

P(x < 3, 5)       = [ (0.006738)(1) / 1 ] + [ (0.006738)(5) / 1 ] + [ (0.006738)(25) / 2 ] + [ (0.006738)(125) / 6 ]

P(x < 3, 5)       = [ 0.0067 ] + [ 0.03369 ] + [ 0.084224 ] + [ 0.140375 ]

P(x < 3, 5)       = 0.2650

Jadi peluang lipstik “cantik berseri” akan terjual kurang dari 4 pada hari minggu kemudian adalah 0.2650.

Selanjutnya akan kita bahas trik menjalankan regresi poisson dengan SPSS.

download bahasan ini dalam bentuk pdf disini>>>

Sumber:

Anonim.  ____.  Research Method II: Multivariate Analysis, Poisson Regression Analysis.

Walpolle, E. Ronald.  1995.  Pengantar Statistika, Edisi Ketiga – cetakan keenam.  Gramedia Pustaka Utama.  Jakarta.

Berk R, MacDonald J.  2007.  Overdispersion and Poisson Regression.  Department of Criminolgy, University of Pennsylvania: Pennsylvania.